Routhin lause

Routh'in teoreema antaa ceviaanien sisälle sulkeman kolmion pinta-alan suhteessa referenssikolmioon.

Routhin lause antaa geometriassa kolmen ceviaanin sisällensä rajoittaman kolmion pinta-alan. Sen esitti ja todisti ensimmäisenä Edward John Routh (1831 – 1907) vuonna 1891.

Teoreeman sisältö

Kolmion kärjestä vastakkaiselle sivulle piirretyt janoja kutsutaan joskus ceviaaneiksi. Ceviaanin kantapiste, joka on sen päätepiste vastaisella sivulla, jakaa vastaisen sivun osiin $w:a$. Jos jakosuhde ilmaistaan kahtena reaalilukuna, joista toinen kirjoitetaan oikeanpuoleisen monikertana ja sitten supistetaan $xa:a=x:1$, voidaan jako ilmaista kertoimen ja ykkösen avulla. Jos kerroin on aina ceviaanien erottaman kolmion puolella, voidaan kaikkien sivujen jaot ilmaista $x:1$, $y:1$ ja $z:1$, ja tämän kolmion ala $A$ laskea

$A={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+x+1)(yz+y+1)(zx+z+1)}}\Delta ,$

missä $\Delta$ on referenssikolmion pinta-ala.

Eräitä erityistapauksia

Jos kantapisteet jakavat kaikki sivut samalla tavalla eli $x=y=z\equiv n$, lasketaan sisään jäävän kolmion alaksi

$A={\frac {(n-1)^{2}}{n^{2}+n+1}}\Delta =k(n)\Delta .$

Kun $n=1,2,3,\dots$ ovat kokonaislukuja, saadaan $\Delta$:n kertoimiksi

$k(n)=0,{\frac {1}{7}},{\frac {4}{13}},{\frac {3}{7}},{\frac {16}{31}},{\frac {25}{43}},\dots$

Kun ceviaanit jakavat kolmion sivut suhteessa 1 : 1 ($n=1$), muodostavat ne keskijanojen leikkauspisteen eli painopisteen, jonka "pinta-ala" on nolla. Kun ceviaanit jakavat sivut 2 : 1 ($n=2$), muodostuvan kolmion pinta-alan A suhde referenssikolmion pinta-alaan $\Delta$ on 1 : 7 eli

$A=k(2)\Delta ={\frac {1}{7}}\Delta .$